Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày Thi Thứ Hai - Đề Số 2

Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$ sao cho $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB<AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại điểm $A^{\prime }$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ cắt đoạn $AH$ tại $I$.
a) Gọi $M$ là giao của $IE$ và $A^{\prime }B$, $N$ là giao của $IF$ và $A^{\prime }C$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $OH$.
b) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$ và $T$ là giao điểm của $KH$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ song song với $DT$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Câu 5 (7,0 điểm). Cho một bảng ô vuông $25\times 26$ gồm 25 hàng và 26 cột. Bạn An xếp 105 viên bi vào các ô vuông đơn vị của bảng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: mỗi ô vuông đơn vị có tối đa một viên bi và trên mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một viên bi.
Một viên bi được gọi là thứ vị nếu số bi trong cùng hàng với nó nhiều hơn số bi trong cùng cột với nó.
a) Chứng minh rằng với mọi cách xếp bi của bạn An thì luôn tồn tại ít nhất một viên bi thứ vị.
b) Tìm số viên bi thứ vị lớn nhất có thể.

Câu 6 (6,0 điểm). Cho trước số nguyên $n>1$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác hằng với hệ số nguyên thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên sao cho tất cả các hệ số của đa thức $P(x)Q(x)-1$ đều chia hết cho $n$.