(4,0 điểm) Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên $x_1,x_2,x_3$ sao cho $P(x_1)=2025$, $P(x_2)=2026$ và $P(x_3)=2027$.

a) Chứng minh rằng $x_2$ là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình $P(x)=2026$.

b) Chứng minh rằng phương trình $P(x)=2029$ có không quá một nghiệm nguyên.

a) Chú ý rằng $a-b\mid P(a)-P(b)$ với mọi cặp số nguyên $a,b$ và $a\ne b$. Khi đó ta có $x_2-x_1\mid P(x_2)-P(x_1)$ hay $x_2-x_1\mid 1$. Tương tự, ta được $x_2-x_3\mid 1$.

Chú ý rằng $x_1\ne x_3$ nên ta được $$\{\begin{array}{l}{x}_2-x_1=1\\ x_2-x_3=-1\end{array}\text{ hoặc }\{\begin{array}{l}{x}_2-x_1=-1\\ x_2-x_3=1\end{array}.$$ Từ cả hai trường hợp, ta được $x_2=\frac{x_1+x_3}{2}$.

Giả sử tồn tại số nguyên $a$ là nghiệm của phương trình $P(x)=2026$. Khi đó ta được $P(a)=2026$. Lập luận tương tự, ta được $a=\frac{x_1+x_3}{2}=x_2$.

Vậy phương trình $P(x)=2026$ có nghiệm nguyên duy nhất $x_2$.

b) Xét phương trình $P(x)=2029$. Khi đó, giả sử phương trình $P(x)=2029$ có nghiệm nguyên $a$, ta chứng minh $a$ là nghiệm nguyên duy nhất.

Chú ý rằng $a-x_1\mid P(a)-P(x_1)$ nên $a-x_1\mid 4$. Tương tự, ta được $a-x_3\mid 2$ và $a-x_2\mid 3$.

Từ câu a), ta được $x_1,x_2,x_3$ là ba số nguyên liên tiếp (nếu xếp tăng dần) và $a\ne x_1,x_2,x_3$.

Xét trường hợp $x_1<x_2<x_3$, ta có các khả năng sau:

- Khả năng 1: $a<x_1$. Khi đó, $|a-x_3|>|x_1-x_3|=2$. Vô lý.
- Khả năng 2: $a>x_3$. Lúc này ta được $a-x_1=4;a-x_2=3;a-x_3=2$. Có duy nhất một giá trị $a$ như vậy.

Xét trường hợp $x_1>x_2>x_3$, ta có các khả năng sau:

- Khả năng 1: $a>x_1$. Khi đó $|a-x_3|>|x_1-x_3|=2$. Điều này là vô lý.
- Khả năng 2: $a<x_3$. Khi đó $a-x_1=-4;a-x_2=-3;a-x_3=-2$. Có duy nhất một giá trị $a$ như vậy.

Vậy từ tất cả các trường hợp, phương trình $P(x)=2029$ có không quá một nghiệm nguyên.