Kỳ Thi Chọn Học Sinh Vào Đội Tuyển Bồi Dưỡng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2026-2027 - Sở GD&ĐT Lâm Đồng

(4,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=2027$ và $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right),\forall n\ge 2$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

(4,0 điểm) Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên $x_1,x_2,x_3$ sao cho $P(x_1)=2025$, $P(x_2)=2026$ và $P(x_3)=2027$.

a) Chứng minh rằng $x_2$ là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình $P(x)=2026$.

b) Chứng minh rằng phương trình $P(x)=2029$ có không quá một nghiệm nguyên.

(4,0 điểm) Cho $A(n)=10^{10^n}-9^{9^n}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Tìm một giá trị của $n$ sao cho $A(n)$ có hai chữ số tận cùng giống nhau.

b) Chứng minh rằng nếu $A(n)$ có $k$ chữ số tận cùng giống nhau thì $k\le 4$.

(4,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng $AI$ cắt $DE,DF$ lần lượt tại $P,Q$. Đường tròn đường kính $PQ$ cắt $BC$ tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng $BP$ song song với $CQ$.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.

(4,0 điểm) Bạn Hải tô màu $n$ số nguyên dương đầu tiên bởi đúng $k$ màu, mỗi số chỉ tô đúng một màu $(k\le n)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho với mọi cách tô luôn tồn tại hai số được tô cùng màu mà hiệu của chúng là số chính phương trong mỗi trường hợp sau:

a) $k=2$.

b) $k=3$.