Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng $2m$. Người ta thiết kế một thùng chứa nước có đáy là hình lục giác đều, sáu mặt bên là sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác, mỗi hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ (mét). Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn và gập các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối ($d{m}^3$) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Ngày khai giảng năm học $2025-2026$. Học sinh khối 12 trường THPT Đoàn Giỏi thả chùm bóng bay gắn thông điệp “Học Sinh khối 12 chiến thắng kỳ thi TNTHPT”. Ước tính độ cao $h$ (km) của chùm bóng bay so với mặt đất vào thời điểm $t$ (phút) được cho bởi công thức $h(t)=-t^3+3t^2,\left(0\le t\le 3\right)$. Chùm bóng bay đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là: $a$ (km). Tìm $a$?

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge 0$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ là biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất 9000 quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất 36 quả bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là 250 nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là 225 nghìn đồng mỗi giờ. Số máy móc công ty cần sử dụng để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất là bao nhiêu?

Hình dưới mô tả một cái ao hình ABCDE, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 15 mét. Biết rằng:
1. Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O.
2. Bờ AB là một phần của parabol có đỉnh A và có trục đối xứng là đường thẳng OA.
3. Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 mét và 20 mét.
4. Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40 mét và 30 mét.
Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu đó là bao nhiêu mét?

Có hai xã $A,B$ cùng ở một bên bờ sông Lam , khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $A{A}^{\prime }=500m$, $B{B}^{\prime }=600m$ và người ta đo được $A^{\prime }{B}^{\prime }=2200m$ ( Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Hình dưới mô tả một cái ao hình ABCDE, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10 mét. Biết rằng:
1. Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O.
2. Bờ AB là một phần của parabol có đỉnh A và có trục đối xứng là đường thẳng OA.
3. Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 mét và 20 mét.
4. Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40 mét và 30 mét.
Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu đó là bao nhiêu mét?