Cho lăng trụ đều $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng cạnh đáy.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy = cạnh bên = a. a) Đúng: lăng trụ đều có CC' ⊥ (ABC), mà CC' ⊂ (B'BC) nên (ABC) ⊥ (B'BC). b) Đúng: CC' ⊥ (ABC) nên góc giữa CC' và (ABC) bằng 90°. c) Sai: hình chiếu của C' lên (ABC) là C, góc giữa C'B và (ABC) là góc C'BC với tan(C'BC) = CC'/BC = a/a = 1, suy ra góc bằng 45° chứ không phải 60°. d) Đúng: đặt hệ tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), C(1/2, √3/2, 0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1/2, √3/2, 1). Mặt phẳng (A'B'C') có pháp tuyến n₁ = (0,0,1). Mặt phẳng (AB'C') có pháp tuyến n₂ = AB' × AC' = (−√3/2, −1/2, √3/2), |n₂| = √7/2. cos α = |n₂·n₁|/(|n₂||n₁|) = (√3/2)/(√7/2) = √(3/7), nên sin α = 2/√7 và tan α = (2/√7)/(√3/√7) = 2/√3 = 2√3/3. Khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
CC' ⊥ (ABC) và CC' ⊂ (B'BC) nên (ABC) ⊥ (B'BC).
b) (AI giải đề cho tôi)
CC' ⊥ (ABC) nên góc giữa CC' và (ABC) bằng 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của C' trên (ABC) là C; tan(góc C'BC) = CC'/BC = 1 nên góc bằng 45°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ đã chọn, cos α = √(3/7) nên tan α = 2√3/3.