Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh $a$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: $A$ trên-trái, $B$ trên-phải, $C$ dưới-phải, $D$ dưới-trái, tâm $O$ giao hai đường chéo. Chọn hệ tọa độ $D(0;0),A(0;a),B(a;a),C(a;0)$, khi đó $O(a/2;a/2)$.
a) $|\overrightarrow{CB}|=a$ còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), nên $|\overrightarrow{CB}|\ne |\overrightarrow{CA}|$ → Sai.
b) $O$ là trung điểm $DB$ nên $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(a;0)$ còn $\overrightarrow{CD}=(a;0)-(a;0)$... cụ thể $\overrightarrow{CD}=D-C=(0;0)-(a;0)=(-a;0)=-\overrightarrow{AB}$, hai vecto ngược hướng → Sai.
d) $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot 0+a\cdot (-a)=-a^2$ → Đúng. (Hoặc: góc giữa $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ có $\cos =\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, tích $=a\sqrt{2}\cdot a\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-a^2$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{CB}|=a$ (cạnh hình vuông) còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là giao hai đường chéo nên là trung điểm của $DB$, do đó $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $D(0;0),B(a;a),C(a;0)$: $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $=0-a^2=-a^2$.