Cho hình nón có chiều cao bằng $a$. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng $\frac{a}{3}$, thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

Gọi $S$ là đỉnh hình nón, $O$ là tâm đáy, chiều cao $SO=a$.
Thiết diện qua đỉnh là tam giác $SAB$ cân tại $S$, theo giả thiết tam giác $SAB$ vuông nên vuông cân tại $S$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, khi đó $SH\perp AB$ và $OH\perp AB$.
Kẻ $OK\perp SH$ tại $K$, thì $OK\perp (SAB)$, do đó khoảng cách từ $O$ đến $(SAB)$ là $OK=\frac{a}{3}$.
Trong tam giác vuông $SOH$ tại $O$, đường cao $OK$ thỏa mãn:
$\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}⟺\frac{9}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{O{H}^2}⟺\frac{1}{O{H}^2}=\frac{8}{a^2}⟹OH=\frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$SH=\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{8}}=\frac{3a}{2\sqrt{2}}$.
Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ với $SH$ là đường trung tuyến nên $AB=2SH=\frac{3a}{\sqrt{2}}⟹AH=\frac{3a}{2\sqrt{2}}$.
Bán kính đáy của hình nón là $R=OA=\sqrt{O{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{8}+\frac{9a^2}{8}}=\sqrt{\frac{10a^2}{8}}=a\sqrt{\frac{5}{4}}$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{5a^2}{4}\cdot a=\frac{5\pi a^3}{12}$.