Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$ và $G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\Delta BD{A}^{\prime }$ và $\Delta C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
a) Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng với mọi điểm $G$. Đúng.

b) $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{AD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\ne \vec{0}$. Sai.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}\ne 4\overrightarrow{AG}$. Sai.

d) $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\right)$. Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{B^{\prime }B}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$, tức $m=-\frac{1}{3},n=\frac{2}{3},k=-\frac{1}{3}$, nên $m+n+k=0\ne 1$. Sai.

Tóm lại: chỉ khẳng định a) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng với mọi điểm $G$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AD}$, nên biểu thức bằng $2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\ne \vec{0}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G$ trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}\ne 4\overrightarrow{AG}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$, nên $m=-\frac{1}{3},n=\frac{2}{3},k=-\frac{1}{3}$, do đó $m+n+k=0\ne 1$. Sai.