Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$?

1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=\frac{3}{2}AD$, $\widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{\circ }$, $CD=AD$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;1;0)$, $B(0;1;1)$. Đặt $P=\left|3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}\right|$, trong đó $M(a;b;c)$ là một điểm chạy trên mặt phẳng $(Oxz)$. Tính $a+b+c$ khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết $D(1;2;3),C(-3;4;-1),A^{\prime }(2;0;-2)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;2;1),B(0;1;3)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Để sản xuất những thùng giấy có dạng khối hộp chữ nhật đựng những gói mì tôm, vừa tiện lợi vừa thân thiện với môi trường và chịu được sức nặng, người thiết kế tuân thủ theo quy tắc: Ba đường chéo của ba mặt hộp chữ nhật bao gồm hai mặt bên và một mặt đáy là ba cạnh của một tam giác cho trước gọi là “tam giác chuẩn”, từ đó tìm các đỉnh còn lại của khối hộp chữ nhật (minh họa như hình vẽ) rồi đưa vào sản xuất hàng loạt. Trong không gian $Oxyz$, giả sử “tam giác chuẩn” đó là $\Delta A^{\prime }BD$ và khối hộp cần sản xuất là $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }(1;3;7),B(5;-5;7),D(1;-5;1)$, khi đó $A(a;b;c)$, với c là số nguyên. Tính $2a+3b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;3;1),B(2;1;3)$. Tọa độ trung điểm của $AB$ là

Trong không gian $Oxyz$, biết $\overrightarrow{OM}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$. Tọa độ của điểm $M$ là