Cho hình chóp $S.DABC$ có $SD\perp (DABC)$, đáy là hình vuông tâm $I$ cạnh bằng 5, $SA=\sqrt{29}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SD\perp (DABC)$ nên $SD$ là chiều cao. Tam giác $SAD$ vuông tại $D$ với $AD=5$, $SA=\sqrt{29}$ nên $SD=\sqrt{29-25}=2$.

a) Đúng: $SD\perp (DABC)$ nên chiều cao là $SD=2$.

b) Sai: $AB\parallel DC$ nên $AB\parallel (SDC)$. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SDC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$. Mặt phẳng vuông góc với giao tuyến này là $(SAD)$ (vì $AB\perp AD$, $AB\perp SD$), nên góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa $SA$ và $SD$ trong $(SAD)$, với $\tan \widehat{ASD}=\frac{AD}{SD}=\frac{5}{2}$, không phải $90^{\circ }$. Vậy hai mặt phẳng không vuông góc.

c) Đúng: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SD=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 2=\frac{50}{3}$.

d) Đúng: Tọa hóa $D(0,0,0),A(5,0,0),B(5,5,0),C(0,5,0),S(0,0,2)$. Mặt phẳng $(SAB)$: $\overrightarrow{SA}=(5,0,-2)$, $\overrightarrow{SB}=(5,5,-2)$, pháp tuyến $\vec{n}=(10,0,25)$, phương trình $10x+25z=50$. Khoảng cách từ $D$: $\frac{50}{\sqrt{725}}=\frac{10\sqrt{29}}{29}$. Vì $DC\parallel AB\parallel (SAB)$ nên mọi điểm $P$ trên $DC$ (kể cả $DP=3PC$) có khoảng cách đến $(SAB)$ bằng $\frac{10\sqrt{29}}{29}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SD\perp (DABC)$ nên $SD$ là chiều cao; $SD=\sqrt{S{A}^2-A{D}^2}=\sqrt{29-25}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AB\parallel DC\Rightarrow AB\parallel (SDC)$; giao tuyến qua $S$ song song $AB$, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc $ASD$ trong $(SAD)$ với $\tan \widehat{ASD}=5/2$, không phải $90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 2=\frac{50}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $DC\parallel (SAB)$, khoảng cách từ mọi điểm trên $DC$ đến $(SAB)$ bằng nhau và bằng $d(D,(SAB))=\frac{10\sqrt{29}}{29}$ (tọa hóa: mặt phẳng $(SAB)$ có phương trình $10x+25z=50$, khoảng cách từ $D$ là $\frac{50}{\sqrt{725}}=\frac{10\sqrt{29}}{29}$).