Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$ bằng $\frac{a\sqrt{30}}{n}$. Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Vì $SA\perp (ABCD)$ và $AB\perp BC$ nên $SB\perp BC$. Do đó góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $\widehat{SBA}=60^{\circ }$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AB=a\Rightarrow SA=AB\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$.
Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$), hạ $AH\perp SC$ tại $H$, khi đó khoảng cách từ $A$ đến $SC$ là $AH$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{5}{6a^2}\Rightarrow AH=a\sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$
Suy ra $n=5$.