Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $2a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$.
a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.
b) Tính số đo góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
c) Tính số đo của góc nhị diện $\left[S,BD,A\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. Từ đó BD ⊥ AC và BD ⊥ SA với AC, SA cắt nhau trong (SAC) ⇒ BD ⊥ (SAC).

b) Góc giữa SD và (ABCD) là góc giữa SD và hình chiếu DA của nó trên mặt đáy, tức là góc SDA. Tam giác SAD vuông tại A: tan(SDA) = SA/AD = (a√2)/(2a) = √2/2. Vậy góc giữa SD và (ABCD) bằng arctan(√2/2) ≈ 35°15′52″ (≈ 35,3°).

c) Gọi O = AC ∩ BD. Theo câu a), BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ OA và BD ⊥ OS. Do đó góc nhị diện [S, BD, A] có số đo bằng góc SOA. Tam giác SOA vuông tại A với AO = (1/2)AC = a√2, SA = a√2, nên SO = √(SA² + AO²) = √(2a² + 2a²) = 2a. Khi đó cos(SOA) = AO/SO = (a√2)/(2a) = √2/2 ⇒ góc SOA = 45°. Vậy số đo góc nhị diện [S, BD, A] bằng 45°.