Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh và $2a$. Biết rằng $SB=a\sqrt{2}$ và $SB$ vuông góc với mặt phẳng $ABCD$.



Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh 2a, SB ⊥ (ABCD), SB = a√2.

a) CD ⊥ AD nhưng CD không vuông góc với AB (CD ∥ AB), nên CD không vuông góc với mặt phẳng (SAB) (vì để CD ⊥ (SAB) cần CD ⊥ hai đường cắt nhau trong (SAB), ví dụ CD ⊥ AB và CD ⊥ SB; mà CD ∥ AB nên CD không ⊥ AB). Khẳng định a) SAI.

b) Vì SB ⊥ (ABCD) nên SB ⊥ AC. ABCD hình vuông nên AC ⊥ BD. AC vuông góc với hai đường cắt nhau SB, BD trong (SBD) ⇒ AC ⊥ (SBD). Mà AC nằm trong (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC). ĐÚNG.

c) Hai đường chéo hình vuông vuông góc: BD ⊥ AC. ĐÚNG.

d) Gọi O = AC ∩ BD. Vì AC ⊥ (SBD) nên góc nhị diện [S,AC,D] là góc giữa OS (trong (SAC), OS ⊥ AC) và OD (trong (ACD), OD ⊥ AC), tức góc SOD.
Tính: BO = BD/2 = a√2, SB = a√2 ⇒ SO = √(SB² + BO²) = 2a; OD = a√2; SD = √(SB² + BD²) = √(2a² + 8a²) = a√10.
cos∠SOD = (SO² + OD² − SD²)/(2·SO·OD) = (4a² + 2a² − 10a²)/(2·2a·a√2) = −4a²/(4√2a²) = −1/√2 ⇒ ∠SOD = 135°. ĐÚNG.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng — khớp bảng đáp án mã 1102 câu 15.
a) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB nên CD không vuông góc với AB, do đó CD không vuông góc với (SAB).
b) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ SB (vì SB ⊥ (ABCD)) và AC ⊥ BD (hình vuông) ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo của hình vuông ABCD vuông góc nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
O = AC ∩ BD; SO = 2a, OD = a√2, SD = a√10 ⇒ cos∠SOD = (4a²+2a²−10a²)/(4√2a²) = −1/√2 ⇒ góc nhị diện [S,AC,D] = 135°.