Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là trung điểm $CD$. $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$, $E$ là giao điểm của $AM$ và $BD$, $F$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AB=3AF$. a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. b) Gọi $K$ là giao điểm của $SC$ và mặt phẳng $(EFG)$. Tính tỉ số $\frac{KS}{KC}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong mặt phẳng đáy, $AC\cap BD=O$. Ta có $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$; rõ ràng $S\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$ với $O=AC\cap BD$.

b) Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(3;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(3;2;0)$, $S=(p;q;h)$ với $h\ne 0$.
- $M$ là trung điểm $CD$ nên $M=\left(\frac{3}{2};2;0\right)$. Đường thẳng $AM$: $y=\frac{4}{3}x$; đường thẳng $BD$: $y=-\frac{2}{3}x+2$. Giải hệ được $E=(1;\frac{4}{3};0)$.
- $AB=3AF\Rightarrow AF=1\Rightarrow F=(1;0;0)$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$: $G=\left(\frac{p+3}{3};\frac{q+4}{3};\frac{h}{3}\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{FE}=(0;\frac{4}{3};0)$, $\overrightarrow{FG}=\left(\frac{p}{3};\frac{q+4}{3};\frac{h}{3}\right)$ nên vectơ pháp tuyến của $(EFG)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FG}=\left(\frac{4h}{9};0;-\frac{4p}{9}\right).$$
Mặt phẳng $(EFG)$ qua $F(1;0;0)$ có phương trình: $h(x-1)-pz=0$.

Điểm $K$ trên $SC$ có dạng $K=S+t(C-S)=(p+t(3-p);q+t(2-q);h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$h(p+t(3-p)-1)-ph(1-t)=0\Rightarrow -1+3t=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}.$$
Vậy $K$ nằm giữa $S$ và $C$ với $KS=\frac{1}{3}SC$, $KC=\frac{2}{3}SC$, suy ra $\frac{KS}{KC}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) giao tuyến là $SO$, $O=AC\cap BD$; b) $\frac{KS}{KC}=0,5$.