Cho hàm số $y=x\ln (x+1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x\ln (x+1)$ xác định khi $x+1>0$, tức tập xác định là $(-1;+\infty )$, nên phát biểu a) 'xác định trên $[0;+\infty )$' là sai (hàm còn xác định cả trên $(-1;0)$).

b) Theo quy tắc tích: $y^{\prime }=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}$, không phải $\ln (x+1)$, nên b) sai.

c) $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{(x+1)-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{x+1}$. Cách khác: $y^{\prime }=\ln (x+1)+1-\frac{1}{x+1}$, suy ra $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Vậy c) đúng.

d) $y^{\prime }+(x+1)y^{\prime \prime }-2=\left(\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}\right)+(x+1)\cdot \frac{1}{x+1}-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}+1-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}-1=\ln (x+1)$. Vậy d) đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $(-1;+\infty )$ vì cần $x+1>0$; hàm xác định cả trên $(-1;0)$ nên không chỉ trên $[0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}$, thiếu số hạng $\frac{x}{x+1}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}=\ln (x+1)+1-\frac{1}{x+1}$, suy ra $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }+(x+1)y^{\prime \prime }-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}+1-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}-1=\ln (x+1)$.