Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên R và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc trục hoành tại $x=-3$ (cực đại của $f^{\prime }$ bằng 0, nghiệm kép), có cực tiểu tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Vậy $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)$. Kiểm tra: $f^{\prime }(0)=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot (-1)=-3$; $f^{\prime }(-2)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (-3)=-1$, khớp đồ thị. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ với $x<1$ (trừ $x=-3$), $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$.
a) Sai: $f^{\prime }$ không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-3$ nhưng đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$, nên $f$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
b) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến.
c) Sai: với $x>1$ thì $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$; vì $2<4$ nên $f(2)<f(4)$, tức $f(2)-f(4)<0$.
d) Đúng: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)-(x-1)=(x-1)\left[\frac{(x+3{)}^2}{3}-1\right]$. Trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x-1<0$ và $x+3\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ nên $\frac{(x+3{)}^2}{3}<\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}<1$, do đó cả hai thừa số đều âm, $g^{\prime }(x)>0$: $g$ đồng biến trên khoảng này.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)$ không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-3$ nhưng đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$, nên $f$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ nên $f$ nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>1$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$; vì $2<4$ nên $f(2)<f(4)$, suy ra $f(2)-f(4)<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g^{\prime }(x)=(x-1)\left[\frac{(x+3{)}^2}{3}-1\right]>0$ trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$ vì cả hai thừa số đều âm, nên $g$ đồng biến.