Cho hàm số $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$ $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=2x-1$ → Đúng.
b) $y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1{)}^2}$; cho $y^{\prime }=0\iff 2x^2-4x+1=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có đúng hai điểm cực trị → Đúng.
c) Tiệm cận đứng của $(C)$ là đường thẳng $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$), không phải $y=2$ → Sai.
d) Đặt $X=x-1,Y=y-1$ thì $Y=2X+\frac{1}{X}$ là hàm lẻ: $f(-X)=-f(X)$, nên đồ thị nhận $I(1;1)$ làm tâm đối xứng → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x-1+\frac{1}{x-1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm hợp lệ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên có đúng hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$; $y=2$ không phải tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $X=x-1,Y=y-1$ ta có $Y=2X+\frac{1}{X}$ là hàm lẻ, nên $I(1;1)$ là tâm đối xứng của $(C)$.