Cho hàm số $g(x)=f(x).x.f\left(x^2\right)$. Biết rằng $f(x)-f(1)=x^2-1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $g^{\prime }(1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(x)-f(1)=x^2-1$ ta có $f(x)=x^2+k$ với $k=f(1)-1$; kiểm tra: $f(1)=1+k$ thỏa mãn. Vậy $f^{\prime }(x)=2x$.

$g(x)=f(x)\cdot x\cdot f(x^2)$, nên
$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)xf(x^2)+f(x)f(x^2)+f(x)x{f}^{\prime }(x^2)\cdot 2x.$$
Tại $x=1$: $f(1)=1+k$, $f^{\prime }(1)=2$, do đó
$$g^{\prime }(1)=2(1+k)+(1+k{)}^2+4(1+k)=(1+k)(k+7)=k^2+8k+7=(k+4{)}^2-9.$$
Vậy GTNN của $g^{\prime }(1)$ là $-9$, đạt khi $k=-4$ (tức $f(x)=x^2-4$).