Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(m+3)x^2+2x+m$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Yêu cầu $f^{\prime }(x)>0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ tức tam thức bậc hai dương với mọi $x$, điều kiện là $a=2>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =(m+3{)}^2-16<0\iff -4<m+3<4\iff -7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$. Kiểm tra: với $m=0$, $f^{\prime }(x)=2x^2-3x+2$, $\Delta =9-16<0$, luôn dương — thỏa mãn.