Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1$, $\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

[VD] Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5& \text{khi }x\ge 1\\ 3x^2+4& \text{khi }x<1\end{array}$. Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$. Tính giá trị của $F(-1)+2F(2)$.

[TH] Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2+a\pi +b}{16};(a;b\in \mathbb{Z})$, tính $a+b$.

[VD] Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $2x^2+f(x)=2x.f^{\prime }(x)$ với mọi $x>0$. Biết $f(1)=1$, giá trị của $f(9)$ bằng

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. (Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Cho biết sau 2 giờ đã có 500 người có mặt. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

[TH] Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2}{x+2}$ trên khoảng $(-2;+\infty )$ và $F(-1)=0$. Khi đó $F(2)$ bằng

Cho hàm số $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)=6x^2-4x+1$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(1)=5$ và $G(0)=2$.