Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$. Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{\tan \alpha -3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha =\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$, suy ra ${\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ (luôn dương nên không phụ thuộc dấu của $\sin \alpha$).

Chia tử và mẫu của $A$ cho $\tan \alpha$ (hoặc dùng $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$):
$$A=\frac{\tan \alpha -3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }={\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha .$$

Thay số:
$$A=\frac{7}{8}-3\cdot \frac{1}{8}=\frac{7-3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

Vậy $A=\frac{1}{2}$.