Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 − 2 x + 3 và F (0) = 2 . Tính F (1) . 11 13

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f(1)=e$ và $(x+2)f(x)=x{f}^{\prime }(x)-x^3,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $f(2)$.

Cho hàm số $f(x)=\sin x+2x$. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(0)=4$.

Cho hàm số $f(x)$ có $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{4}{3}$ và $f^{\prime }(x)=16{\cos }^{4}x\sin 2x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=\frac{15}{26}$. Tính $F(\pi )$.

Trong Vật lí, chu kì bán rã $T$ (đơn vị thời gian) của một chất phóng xạ là thời gian để một nửa lượng chất phóng xạ đó phân rã và biến đổi thành chất khác. Giả sử tốc độ phân rã của một chất phóng xạ được cho bởi $N^{\prime }(t)=-\lambda N_0{e}^{-\lambda t}$, trong đó $N_0$ là lượng chất phóng xạ ban đầu tại $t=0$ và $\lambda >0$ là hằng số (hằng số phân rã).

Một quần thể vi khuẩn A có số lượng cá thể là $P(t)$ sau $t$ phút quan sát được phát hiện thay đổi với tốc độ tăng trưởng là: $P^{\prime }(t)=a{e}^{0,1t}+150e^{-0,03t}$ (vi khuẩn/phút) ($a\in \mathbb{R}$). Biết rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có $200000$ vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trưởng là $300$ vi khuẩn/phút.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=F(\pi )=1$, khi đó giá trị của $F(2\pi )$ bằng