Cho đường tròn $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=10$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :x+3y-16=0$ tại $A(4;4)$. Tính $\frac{b}{a}$ biết rằng giá trị của $b>5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Vì $A(4;4)$ thuộc $(C)$: $(4-a{)}^2+(4-b{)}^2=10$. Tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $IA$, mà $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $(1;3)$ nên $\overrightarrow{IA}=(4-a;4-b)$ cùng phương với $(1;3)$. Đặt $4-a=t$, $4-b=3t$, thay vào: $t^2+9t^2=10\Rightarrow t=\pm 1$. Điều kiện $b>5$: $b=4-3t>5\Rightarrow t<-\frac{1}{3}\Rightarrow t=-1$. Suy ra $a=5$, $b=7$. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{|5+21-16|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}=R$, thỏa mãn. Vậy $\frac{b}{a}=\frac{7}{5}=1,4$.