Cho đường tròn $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=10$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :x+3y-16=0$ tại $A(4;4)$. Tính $\frac{a}{b}$ biết rằng giá trị của $b<5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$, $R=\sqrt{10}$. Vì $(C)$ tiếp xúc $\Delta$ tại $A(4;4)$ nên $A$ thuộc đường tròn và $IA$ vuông góc $\Delta$, tức $\bar{I}$ song song với pháp tuyến $(1;3)$. Do $IA=R=\sqrt{10}=\sqrt{1^2+3^2}$ nên $I=A\pm (1;3)$, tức $I=(5;7)$ hoặc $I=(3;1)$. Kiểm tra khoảng cách từ tâm tới $\Delta$: với $I=(3;1)$, $d=\frac{|3+3-16|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}=R$ ✓; với $I=(5;7)$, $d=\frac{|5+21-16|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}=R$ ✓ nhưng $b=7>5$ (loại). Vậy $I=(3;1)$, $\frac{a}{b}=\frac{3}{1}=3$.