Cho dãy số $(u_n)$ có số hàng tổng quát là $u_n=\frac{3n+1}{n^2+2}$. Hỏi $\frac{31}{102}$ là số hàng thứ mấy của dãy số?

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{u_{n-1}}{(n-1)u_{n-1}+1},n=2,3,4\dots \end{array}$$

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

b) Chứng minh $\frac{u_2}{2-u_2}+\frac{u_3}{2-u_3}+\dots +\frac{u_{2026}}{2-u_{2026}}<1$.

(3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{2u_n}{u_n+4},n\ge 1\end{array}$$ Tìm số hạng tổng quát của $(u_n)$.

Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1=2$ và $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}$ với mọi $n\ge 2$. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát $u_n$.

Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$, biết $\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=-2-\frac{1}{u_n}\end{array}$

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định $\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}-u_n=2n-1\end{array}$. Tìm $u_{2026}$?

Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi $u_n$ là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số $(u_n)$.



Tìm công thức của số hạng tổng quát $u_n$.