Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$, $BC$ và $SD$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(SAB)\cap (SBC)=SB$ vì hai mặt phẳng cùng đi qua $S$ và $B$, không phải $SA$.
b) Đúng: trong tam giác $SBD$, $M$ trung điểm $SB$, $P$ trung điểm $SD$ nên $MP\parallel BD$, do đó $MP\subset (SBD)$. Đường thẳng $SC$ cắt mặt phẳng $(SBD)$ tại $S$, mà $S\notin MP$, nên $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) Đúng: đặt $\overrightarrow{SA}=\mathbf{a},\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c}$; vì $ABCD$ hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}$. Khi đó $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\mathbf{b}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$, $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b})$. Điểm $X\in (MNP)$ có dạng $\overrightarrow{SX}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+u\cdot \frac{1}{2}\mathbf{c}+v\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-2\mathbf{b})$. Để $X\in SA$ tức $\overrightarrow{SX}=t\mathbf{a}$, so sánh hệ số: $\frac{1}{2}-v=0\Rightarrow v=\frac{1}{2}$; $\frac{u}{2}+\frac{v}{2}=0\Rightarrow u=-\frac{1}{2}$; $t=\frac{v}{2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$.
d) Sai: $MP\parallel BD$, $MP\subset (MNP)$, $BD\subset (ABCD)$ nên giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $N$ song song với $BD$ (và song song với $MP$). Đường này song song với $BD$ nên không cắt $BD$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)\cap (SBC)=SB$ vì hai mặt phẳng cùng đi qua $S$ và $B$, không phải $SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP\parallel BD$ (đường trung bình tam giác $SBD$) nên $MP\subset (SBD)$; $SC$ cắt $(SBD)$ tại $S\notin MP$, vậy $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn $\overrightarrow{SA}=\mathbf{a},\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c}$; vì $ABCD$ hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}$. Điểm $X\in (MNP)$ có dạng $\overrightarrow{SX}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\frac{u}{2}\mathbf{c}+\frac{v}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-2\mathbf{b})$. Với $X\in SA$ tức $\overrightarrow{SX}=t\mathbf{a}$, so sánh hệ số: $v=\frac{1}{2}$, $u=-\frac{1}{2}$, $t=\frac{1}{4}$, nên $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là đường thẳng qua $N$ song song với $BD$ (vì $MP\parallel BD$), nên nó song song với $BD$, không cắt $BD$.