Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_n=\frac{n+1}{3n}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{n+1}{3n}$:

a) $u_1=\frac{2}{3},u_2=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},u_3=\frac{4}{9},u_4=\frac{5}{12},u_5=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Mệnh đề đúng.

b) Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}\Rightarrow 101(n+1)=99n\Rightarrow 2n=-101$, vô nghiệm $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy $\frac{33}{101}$ không là số hạng của dãy. Mệnh đề sai.

c) $u_2-u_1=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}$, $u_3-u_2=\frac{4}{9}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{18}\ne -\frac{1}{6}$, nên dãy không là cấp số cộng. Mệnh đề sai.

d) Ta có $v_{n+1}=u_n{v}_n$ nên $v_n=v_1\cdot u_1{u}_2\cdots u_{n-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{6}\cdots \frac{n}{3(n-1)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$.
Do đó $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$, nên $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3^{10}})}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{59049}\right)=\frac{29524}{59049}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3,4,5$ vào $u_n=\frac{n+1}{3n}$ được đúng các giá trị $\frac{2}{3};\frac{1}{2};\frac{4}{9};\frac{5}{12};\frac{2}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}$ cho $2n=-101$, vô nghiệm nguyên dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2-u_1=-\frac{1}{6}$ còn $u_3-u_2=-\frac{1}{18}$, khác nhau nên không phải cấp số cộng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{n}{3^n}$ nên $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$; tổng cấp số nhân $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{29524}{59049}$.