Cho $A=[m;+\infty )$, $B=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x^2+x+5=0\right\}$, $C=(0;5)$. Tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để tập $(A\cup B)\cap C$ có 3 phần tử là số nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2+x+5=0\}$. Vì $\Delta =1-20=-19<0$ nên phương trình $x^2+x+5=0$ vô nghiệm, suy ra $B=\varnothing$. Do đó $(A\cup B)\cap C=A\cap C=[m;+\infty )\cap (0;5)$.

Trường hợp 1: $m\le 0$ thì $A\cap C=(0;5)$, chứa 4 số nguyên $1,2,3,4$ — không thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m\ge 5$ thì $A\cap C=\varnothing$ — không thỏa mãn.

Trường hợp 3: $0<m<5$ thì $A\cap C=[m;5)$, các số nguyên trong tập này là $\lceil m\rceil ,\lceil m\rceil +1,\dots ,4$, số phần tử nguyên bằng $5-\lceil m\rceil$. Yêu cầu có đúng 3 số nguyên nên $5-\lceil m\rceil =3\Rightarrow \lceil m\rceil =2\Rightarrow 1<m\le 2$. Vì $m$ nguyên nên $m=2$.

Thử lại: với $m=2$, $(A\cup B)\cap C=[2;5)$ có 3 số nguyên là $2,3,4$ — thỏa mãn.

Vậy giá trị nguyên của $m$ cần tìm là $m=2$.