Cho $A=\left[m-3;\frac{m+2}{4}\right)$, $B=(-\infty ;-1)\cup [2;+\infty )$. Tính tổng các giá trị nguyên $m$ để $A\cap B=\varnothing$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B=(-\infty ;-1)\cup [2;+\infty )$ nên phần bù của $B$ trong $\mathbb{R}$ là $[-1;2)$. Yêu cầu $A\cap B=\varnothing$ tương đương $A\subset [-1;2)$.

Trước hết, để $A=\left[m-3;\frac{m+2}{4}\right)$ khác rỗng cần $m-3<\frac{m+2}{4}\iff 4m-12<m+2\iff 3m<14\iff m<\frac{14}{3}$. (Nếu $m\ge \frac{14}{3}$ thì $A=\varnothing$, khi đó có vô số giá trị $m$ thỏa mãn nên bài toán được hiểu với $A\ne \varnothing$.)

Với $A\ne \varnothing$, điều kiện $A\subset [-1;2)$ là $m-3\ge -1$ và $\frac{m+2}{4}\le 2$, tức $m\ge 2$ và $m\le 6$. Kết hợp với $m<\frac{14}{3}$ ta được $2\le m<\frac{14}{3}$.

Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{2;3;4\}$. Kiểm tra:
- $m=2$: $A=[-1;1)\subset [-1;2)$ ✓
- $m=3$: $A=\left[0;\frac{5}{4}\right)\subset [-1;2)$ ✓
- $m=4$: $A=\left[1;\frac{3}{2}\right)\subset [-1;2)$ ✓

Vậy tổng các giá trị nguyên của $m$ là $2+3+4=9$.