Cho $a>0,a\ne 1$. Tính giá trị của biểu thức $P={\log }_{\sqrt[4]{a}}\left(\frac{1}{a^5}\right)$.

Nghiệm của phương trình $4^x=64$ là

Phương trình ${\log }_2(x+1)+1={\log }_2\left(x^2-3x+6\right)$ có tích các nghiệm bằng

Cho hàm số $f(x)=4^x+x^3-m$, $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)=x^3$ có nghiệm $x$ thuộc đoạn $[0;2]$?

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2(m+1)z+m^2+1=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1|+|z_2|\le 4$?

Một kỹ sư cơ khí nghiên cứu quá trình làm nguội một chi tiết máy sau khi đúc. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu số nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức là: $y^{\prime }(t)=k\cdot y(t)$ ($t\ge 0,k<0$). Người ta đo được nhiệt độ chênh lệch tại thời điểm $t=10$ phút là $40^{\circ }\text{C}$. Đến thời điểm $t=20$ phút, nhiệt độ chênh lệch giảm xuống còn $10^{\circ }\text{C}$. Cho biết $y(t)=e^{g(t)}$.

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(x^2-x+2)=1$ là