Cho $(1+x{)}^3+(1+x{)}^4+(1+x{)}^5+(1+x{)}^6=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_6{x}^6$. Khi đó hệ số $a_3$ bằng

Hệ số của $x^3$ trong khai triển của $(1+x{)}^n$ với $n\ge 3$ là $C_n^3$.
Do đó hệ số $a_3$ là:
$a_3=C_3^3+C_4^3+C_5^3+C_6^3$.
Áp dụng công thức tam giác Pascal $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ và nhận xét $C_3^3=C_4^4=1$:
$C_4^4+C_4^3=C_5^4$,
$C_5^4+C_5^3=C_6^4$,
$C_6^4+C_6^3=C_7^4$.
Vậy $a_3=C_7^4$. Chọn A.