Câu 4: Xí nghiệp $A$ sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC=x^3-77x^2+1000x+40000$ và hàm doanh thu là $TR=-2x^2+1312x$, với $x$ là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp $A$ được xác định bằng hàm số $f(x)=TR-TC$, cực đại lợi nhuận của xí nghiệp $A$ khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Một thùng chứa hàng bằng gỗ có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $10{\text{ m}}^3$. Chiều dài của đáy gấp đôi chiều rộng, biết chi phí vật liệu làm đáy thùng là $120.000\text{ đoˆˋng}$ cho mỗi mét vuông, chi phí vật liệu làm mặt bên của thùng là $80.000\text{ đoˆˋng}$ cho mỗi mét vuông. Hỏi chiều cao của thùng đó bằng bao nhiêu mét để chi phí mua vật liệu là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Số lượng cá thể của một loài sinh vật phụ thuộc nhiệt độ môi trường sống và được xấp xỉ bởi hàm số $f(t)=300e^{\frac{t}{5}-\frac{3t^2}{100}}$, trong đó $t$ là nhiệt độ môi trường, xét trong khoảng từ $0^{\circ }\text{C}$ đến $60^{\circ }\text{C}$. Hỏi số lượng cá thể loài sinh vật trên nhiều nhất là bao nhiêu?

Câu 3. Theo thống kê tại một chuỗi nhà máy của công ty X, nếu áp dụng tuần làm việc $40$ giờ thì mỗi tuần có $100$ tổ công nhân đi làm và mỗi tổ làm được $120$ sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm $2$ giờ mỗi tuần thì mỗi tuần sẽ có thêm $1$ tổ nghỉ việc và năng suất lao động giảm $5$ sản phẩm/1 tổ/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P(x)=\frac{95x^2+120x}{4}$, với $x$ là thời gian (tính bằng giờ) làm việc trong một tuần. Công ty cần áp dụng thời gian làm việc mấy giờ mỗi tuần để số lượng sản phẩm thu được hàng tuần là lớn nhất?

Một công ty muốn đầu tư vào hệ thống điện mặt trời có công suất $x$ (đơn vị tính: MW). Theo nghiên cứu cho thấy một số thông tin sau: Chi phí đầu tư ban đầu là $C_1(x)=1400+55x$ (tỷ đồng). Doanh thu hàng năm là $R(x)=28x-0,15x^2$ (tỷ đồng/năm). Chi phí vận hành hàng năm là $C_2(x)=12+0,35x+0,012x^2$ (tỷ đồng/năm). Hãy tìm công suất $x$ (làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư, được tính là tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu.

Một cửa hàng bán lẻ bán được 2500 cái tivi mỗi năm. Để bán được số tivi đó, họ phải đặt hàng từ nhà máy sản xuất tivi nhiều lần trong năm, mỗi lần đặt hàng với số lượng tivi như nhau. Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về thì cửa hàng chỉ trưng bày được một nửa số tivi đó, một nửa còn lại phải lưu vào kho; chi phí gửi trong kho là 10 USD cho một cái tivi và chỉ tính cho một lần nhập hàng trong năm. Chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng là 20 USD, ngoài ra cửa hàng phải trả thêm 9 USD cho mỗi tivi. Hỏi mỗi lần đặt hàng trong năm thì cửa hàng cần đặt bao nhiêu tivi để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?

Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao $4\mathrm{m}$, song song và cách tường $0,5\mathrm{m}$ kể từ gốc của cột đỡ như hình vẽ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).