Câu 4: Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol $(P)$ có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng $4m$. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật $CDEF$ sao cho chiều cao cửa đi là $CD=2m$, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là $1,5$ triệu đồng/$m^2$. Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$, như hình vẽ thì phương trình của đường cong $(P)$ cánh cổng là $y=f(x)=-x^2+4$.



Từ hình vẽ, ta có parabol $(P)$ có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$; $a,b,c\in \mathbb{R}$.

Do $(P)$ có đồ thị là parabol có đỉnh $(0;4)$ và đi qua điểm có tọa độ là $(2;0)$ nên
$$\{\begin{array}{l}b=0\\ c=4\\ 4a+2b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\\ c=4\end{array}.$$

Vậy $(P)$ có phương trình $y=-x^2+4$.

Theo giả thiết điểm $D$ thuộc đồ thị $(P)$ có tung độ bằng 2 suy ra hoành độ là nghiệm phương trình $-x^2+4=2\iff x=\pm \sqrt{2}$.

Theo đồ thị điểm $D$ có hoành độ dương nên $D\left(\sqrt{2};2\right)$

Chiều rộng của cửa là $CF=2.OD=2\sqrt{2}(m)$.

Ta có, diện tích của $(P)$ tạo với trục hoành là: $S={\int }_{-2}^2\left(-x^2+4\right)\mathrm{d}x=\frac{32}{3}{m}^2$.

Diện tích hình chữ nhật $CDEF$ là $S_{CDEF}=2.2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Diện tích cần trang trí là $S_1=S-S_{CDEF}=\frac{32}{3}-4\sqrt{2}=\frac{32-12\sqrt{2}}{3}$.

Chi phí để trang trí phần tô đậm là $\left(\frac{32-12\sqrt{2}}{3}\right).1,5=7,514718626$ (triệu đồng)

Số tiền gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm là 7,5 (triệu đồng)