Câu 2 (1,5 điểm). Giải phương trình $(x+1{)}^2-2\sqrt{2x+1}+{\log }_2\frac{x^2+2x+2}{\sqrt{2x+1}}=0$.

Hướng dẫn chấm tự luận (trang 10):

Điều kiện: $x>-\frac{1}{2}$. [0,25 điểm]

Phương trình đã cho tương đương $(x+1{)}^2+1+{\log }_2\left[(x+1{)}^2+1\right]=2\sqrt{2x+1}+{\log }_2\left(2\sqrt{2x+1}\right)$ (1) [0,25 điểm]

Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ trên $(0;+\infty )$. $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. [0,25 điểm]

Khi đó phương trình (1) tương đương $f\left[(x+1{)}^2+1\right]=f\left(2\sqrt{2x+1}\right)\iff (x+1{)}^2+1=2\sqrt{2x+1}$ [0,25 điểm]

$\iff x^4+4x^3+8x^2=0\iff x^2\left(x^2+4x+8\right)=0$ [0,25 điểm]

$\iff x=0$ (thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$. [0,25 điểm]