Câu 1. Có một cái túi đựng bốn thẻ, mỗi thẻ được ghi một số trong các số 1, 2, 3, 4 và hai cái hộp $A,B$. Hộp $A$ chứa 8 quả bóng trắng và 8 quả bóng đen, hộp $B$ rỗng. Bạn An thực hiện phép thử sau: lấy ngẫu nhiên một thẻ trong túi, kiểm tra số ghi trên thẻ rồi bỏ lại thẻ vào túi. Nếu số ghi trên thẻ là 1, lấy một quả bóng trắng từ hộp $A$ cho vào hộp $B$. Nếu số ghi trên thẻ là 2 hoặc 3, lấy một quả bóng trắng và một quả bóng đen từ hộp $A$ cho vào hộp $B$. Nếu số ghi trên thẻ là 4, lấy hai quả bóng trắng và một quả bóng đen từ hộp $A$ cho vào hộp $B$. Sau khi thực hiện phép thử trên 4 lần, khi số bóng trong hộp $B$ là 8 thì xác suất để có 2 quả bóng đen trong hộp $B$ bằng $\frac{a}{b}$ ($a,b$ nguyên dương và phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Một đồng xu không cân đối được tung lên, có xác suất xuất hiện mặt sấp bằng $0,8$. Vinh quan sát kết quả mặt sấp hoặc mặt ngửa và vội vã chạy đi báo cho Bằng. Tuy nhiên, Vinh có thể sẽ quên kết quả khi đến chỗ Bằng và xác suất Vinh quên bằng $0,4$. Nếu Vinh đã quên, thì thay vì thừa nhận điều này với Bằng, anh ta có khả năng nói với Bằng rằng đồng xu rơi xuống mặt sấp hoặc mặt ngửa với xác suất như nhau. Nếu anh ta nhớ, thì anh ta sẽ báo cho Bằng kết quả đúng.

Câu 6: Bốn tay vợt Tennis An, Bình, Công và Duy tham gia vào một giải đấu có tổng cộng ba trận đấu. Đầu tiên, hai người chơi được chọn ngẫu nhiên để chơi với nhau; hai người chơi còn lại cũng chơi với nhau. Những người chiến thắng trong hai trận đấu sẽ thi đấu với nhau để quyết định nhà vô địch giải đấu. An, Bình và Công ngang sức nhau (nghĩa là, khi một trận đấu được chơi giữa hai người trong ba người An, Bình, Công, xác suất mỗi người chơi thắng là $\frac{1}{2}$). Khi Duy đấu với An, Bình hoặc Công, xác suất Duy thắng là $0,7$. Xác định xác suất Bình vô địch giải đấu.

Một túi chứa ba quả bóng được đánh số $1,2$ và $3$. Bạn An chọn ngẫu nhiên một trong các quả bóng này và ghi lại số trên quả bóng được chọn. Sau đó, An tung một số đồng xu cân đối đồng chất bằng với số trên quả bóng đã chọn.

Để lên đến đỉnh S của một ngọn núi từ một điểm xuất phát D, những người đi bộ có thể đi theo nhiều tuyến đường khác nhau. Hành trình đi không thể kết thúc trong một ngày, vì vậy họ phải ngủ lại một đêm ở một trong hai nhà trú ẩn, kí hiệu là $R_1$ và $R_2$. Sáng hôm sau, để lên đến đỉnh núi, họ có hai cách: hoặc đi lên đỉnh núi trực tiếp hoặc là đi đến đó sau khi đã dừng nghỉ tại nhà trú ẩn $R_3$. Tình huống được mô tả qua sơ đồ như dưới đây, trong đó khoảng cách giữa các điểm (tính bằng km) được cho trên sơ đồ.
Các khảo sát trên một thời gian dài về các tuyến đường đi có thể có cho phép khẳng định rằng khi chọn ngẫu nhiên một người đi bộ thì:
- Xác suất mà người này ngủ lại ở nhà trú ẩn $R_1$ là $\frac{1}{3}$.
- Xác suất mà người này leo trực tiếp lên đến đỉnh núi và xuất phát từ nhà trú ẩn $R_1$ là $\frac{3}{4}$.
- Xác suất mà người này leo trực tiếp lên đến đỉnh núi và xuất phát từ nhà trú ẩn $R_2$ là $\frac{2}{3}$.
Tính xác suất để anh ta đến đỉnh núi có tổng quãng đường duy chuyển lớn hơn 15 km.

Cho sơ đồ hình cây như hình vẽ bên dưới.



Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})$.

b) $P(B\mid A)=0,6$.

c) $P(B)=0,62$.

d) $P(\overline{B})=0,4$.

Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách 20m với xác suất trúng thỏ là 0,5, nếu bị trượt anh ta bắn viên thứ 2 ở khoảng cách 30m, nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ 3 ở khoảng cách 50m. Tính xác suất để người thợ săn bắn trúng thỏ sau nhiều nhất ba lần bắn.