Câu 1 (7,0 điểm)
Xét đa thức $P(x)=x^4-x^3+x$.
a) Chứng minh rằng với mọi số dương $a$, đa thức $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm dương.
b) Xét dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1=\frac{1}{3}$ và với mọi $n\ge 1$, $a_{n+1}$ là nghiệm dương của đa thức $P(x)-a_n$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

(AI giải đề cho tôi)
**a)** Xét $P^{\prime }(x)=4x^3-3x^2+1$. Ta có $P^{\prime \prime }(x)=12x^2-6x=6x(2x-1)$, nên $P^{\prime }$ đạt cực trị tại $x=0$ và $x=\frac{1}{2}$. Khi đó $P^{\prime }(0)=1>0$ và $P^{\prime }(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+1=\frac{3}{4}>0$. Vì $P^{\prime }$ liên tục, đạt giá trị nhỏ nhất trên các khoảng $(-\infty ,0],[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},\infty )$ tại các điểm tới hạn này (do $P^{\prime }\to \pm \infty$ khi $x\to \pm \infty$), nên $P^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $P$ đồng biến ngặt trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác $P(0)=0<a$ và $P(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên theo định lý giá trị trung gian, phương trình $P(x)=a$ có đúng một nghiệm dương (nghiệm đó còn lớn hơn $0$ vì $P$ đồng biến và $P(0)=0<a$). Vậy $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm dương.

**b)** Với $x>0$, ta có $P(x)-x=x^4-x^3=x^3(x-1)$, do đó:
- $P(x)<x$ khi $0<x<1$;
- $P(x)>x$ khi $x>1$.

Trước hết chứng minh $0<a_n<1$ với mọi $n$ (quy nạp): $a_1=\frac{1}{3}\in (0,1)$. Giả sử $a_n\in (0,1)$. Nếu $a_{n+1}\ge 1$ thì $a_n=P(a_{n+1})>a_{n+1}\ge 1$, mâu thuẫn. Vậy $a_{n+1}\in (0,1)$.

Do đó với mọi $n$: $P(a_{n+1})=a_n<a_{n+1}$ (vì $0<a_{n+1}<1$), tức là $a_{n+1}>a_n$. Dãy $(a_n)$ tăng ngặt và bị chặn trên bởi $1$, nên hội tụ tới giới hạn hữu hạn $L$ với $\frac{1}{3}<L\le 1$.

Vì $P$ liên tục, chuyển qua giới hạn trong hệ thức $P(a_{n+1})=a_n$ ta được $P(L)=L$, tức $L^3(L-1)=0$. Do $L\ge a_1=\frac{1}{3}>0$ nên $L=1$.

Kết luận: dãy $(a_n)$ tăng ngặt, bị chặn, hội tụ và $\lim a_n=1$.