Câu 2 (7,0 điểm)
Với mỗi số nguyên $n\ge 0$, đặt $u_n={\left(2+\sqrt{5}\right)}^n+{\left(2-\sqrt{5}\right)}^n$.
a) Chứng minh rằng $u_n$ là số nguyên dương với mọi $n\ge 0$. Khi $n$ thay đổi, số dư của $u_n$ khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ với $a,b$ nhỏ hơn 500 sao cho với mọi $n$ lẻ ta có $u_n\equiv a^n-b^n(\mathrm{mod}1111)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 2.** Đặt $\alpha =2+\sqrt{5},\beta =2-\sqrt{5}$; ta có $\alpha +\beta =4,\alpha \beta =-1$ nên $u_n$ thỏa mãn $u_{n+2}=4u_{n+1}+u_n$, với $u_0=2,u_1=4$.

**a)** Quy nạp: $u_0,u_1$ nguyên dương, nếu $u_n,u_{n+1}$ nguyên dương thì $u_{n+2}=4u_{n+1}+u_n$ nguyên dương. Vậy $u_n$ nguyên dương với mọi $n$.

Tính $u_n$ mod 24 theo truy hồi: $u_0=2,u_1=4,u_2=18,u_3=76\equiv 4,u_4=322\equiv 10,u_5=1364\equiv 20,u_6\equiv 18,u_7\equiv 20,u_8\equiv 2,u_9\equiv 4,u_{10}\equiv 18$, tức chu kỳ $6$: $(2,4,18,4,10,20)$. Kiểm tra: $u_6=4u_5+u_4=4\cdot 1364+322=5778=240\cdot 24+18$ ✓. Vậy số dư lớn nhất của $u_n$ khi chia cho 24 bằng oxed{20} (đạt tại $n\equiv 5(\mathrm{mod}6)$).

**b)** Ta có $1111=11\cdot 101$ và $\alpha \beta =-1$, suy ra với $n$ lẻ: ${\beta }^n=(-{\alpha }^{-1}{)}^n=-{\alpha }^{-n}$, do đó $u_n={\alpha }^n-{\alpha }^{-n}$.

Với $n=1$: $a-b\equiv \alpha -{\alpha }^{-1}=4(\mathrm{mod}1111)$. Vì $1\le a,b\le 499$ nên $a-b=4$, tức $b=a-4$ (với $5\le a\le 499$).

Với $n=3$: ${\alpha }^3-{\alpha }^{-3}=(\alpha -{\alpha }^{-1})((\alpha +{\alpha }^{-1}{)}^2-1)$. Vì $\alpha +{\alpha }^{-1}=2\sqrt{5}$ nên ${\alpha }^3-{\alpha }^{-3}=4(20-1)=76=u_3$ (khớp $u_3=76$). Do đó $a^3-b^3=a^3-(a-4{)}^3=12a^2-48a+64\equiv 76(\mathrm{mod}1111)$, tức $12(a^2-4a-1)\equiv 0(\mathrm{mod}1111)$. Vì $\gcd (12,1111)=1$: $(a-2{)}^2\equiv 5(\mathrm{mod}1111)$.

Tìm căn của 5 mod 1111: mod 11 là $\pm 4$; mod 101 là $\pm 45$ (vì $45^2=2025\equiv 5(\mathrm{mod}101)$). CRT cho 4 nghiệm $\sqrt{5}\in \{348,359,752,763\}$ (kiểm tra: $348^2\equiv 5,359^2\equiv 5,752^2\equiv 5,763^2\equiv 5(\mathrm{mod}1111)$). Vậy $a-2\equiv \pm \sqrt{5}$, cho $a\in \{350,361,754,765\}$; kết hợp $a<500$: $a\in \{350,361\}$, $b=a-4$.

**Đủ điều kiện với mọi $n$ lẻ:** nếu $(a-2{)}^2\equiv 5(\mathrm{mod}1111)$, đặt $s=a-2$ thì $s^2\equiv 5$ và $(s+2)(s-2)=s^2-4\equiv 1$. Với $n$ lẻ, $(s+2{)}^n-(s-2{)}^n=2{\sum }_{k\text{ lẻ}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k{s}^{n-k}$ là đa thức theo $s^2$; thay $s^2\equiv 5$ được đúng biểu thức của $(2+\sqrt{5}{)}^n-(\sqrt{5}-2{)}^n=u_n(\mathrm{mod}1111)$. Vậy điều kiện tại $n=1,3$ là đủ.

Kiểm tra trực tiếp: $(350,346)$: $350^3-346^3=1453264\equiv 76(\mathrm{mod}1111)$ ✓; $(361,357)$: $361^3-357^3=1546588\equiv 76(\mathrm{mod}1111)$ ✓.

**Kết luận:** các cặp cần tìm là $(a,b)=(350,346)$ và $(361,357)$; số dư lớn nhất ở câu a) là $20$.