Các số thực dương $a_1,a_2,...,a_{100}$ được viết trên một vòng tròn theo thứ tự đó. Biết rằng mỗi số lớn hơn tích của hai số liền trước nó: với mọi $1\le i\le 100$ thì $a_i{a}_{i+1}<a_{i+2}$ (ta quy ước $a_{101}=a_1,a_{102}=a_2$). Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương trong các số $a_1,a_2,...,a_{100}$?

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hai số hạng liên tiếp không thể đồng thời là số nguyên dương được. Thật vậy, giả sử ngược lại, $a_i,a_{i+1}$ là hai số nguyên dương liên tiếp. Suy ra, vì $a_{i+2}>a_i{a}_{i+1}$ nên $a_{i+2}>a_{i+1}\ge 1$. Tương tự, $a_{i+3}>a_{i+2}{a}_{i+1}$ nên $a_{i+3}>a_{i+2}$. Cứ lập luận như vậy, ta suy ra $a_{k+1}>a_k\ge 1$ với mọi $k$. Nói riêng, điều này có nghĩa là $a_1<a_2<\cdots <a_{100}<a_1$, mâu thuẫn. Như vậy, trong 100 số hạng $a_1,\dots ,a_{100}$ có nhiều nhất 50 số nguyên dương.

Hơn nữa, nếu có 50 số nguyên dương thì chúng là các số hạng chỉ số chẵn hoặc là các số hạng chỉ số lẻ. Giả sử $a_1,a_3,\dots ,a_{99}$ là các số nguyên dương (trường hợp $a_2,\dots ,a_{100}$ là các số nguyên dương lập luận tương tự). Khi này bằng cách nhân các bất đẳng thức $a_2>a_{100}{a}_1$, $a_4>a_3{a}_2$, $\dots$, $a_{100}>a_{99}{a}_2$ lại, ta được $a_2{a}_4\cdots a_{100}>a_1{a}_2\cdots a_{100}$, kéo theo $1>a_1{a}_3\cdots a_{99}$, vô lý.

Như vậy, trong các số $a_1,\dots ,a_{100}$, có nhiều nhất 49 số nguyên dương. Ví dụ sau đây cho thấy giá trị này đạt được: $$a_2=a_4=\cdots =a_{98}=1,a_1=\frac{1}{100},a_3=\frac{1}{99},\dots ,a_{99}=\frac{1}{51},a_{100}=\frac{1}{50}.$$