Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{7\pi }{12}}\frac{\sin x+5\cos x}{(\sin x+\cos x{)}^3}\mathrm{d}x=\frac{a\sqrt{3}}{b}-\frac{c}{d}+p\sqrt{2}$, với $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản, $p$ là số tự nhiên. Đặt $n=a+b+c+d$. Số ước nguyên dương của $n$ là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a$ là số thực dương. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Giá trị của ${\int }_2^5\frac{1}{x}dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn ${\int }_0^{2}f(x)dx=6$. Giá trị của tích phân ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(2\sin x)\cos xdx$ bằng

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+4$, trục hoành và trục tung. Đường thẳng $d$ qua $A(0;4)$ và có hệ số góc $k$ ($k\in \mathbb{R}$) chia hình $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của $k$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $c$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $[a;b]$. Nếu ${\int }_a^{b}f(x)dx=3$ và ${\int }_a^{c}f(x)dx=8$ thì tích phân ${\int }_c^{b}f(x)dx$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^3-x$, $y=3x$ và hai đường thẳng $x=1,x=3$. Diện tích miền phẳng $(H)$ được tính bằng công thức