a. Với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ thỏa mãn $a\ge b\ge c>0$, chứng minh
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}.$$

b. Với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2$ và các các số thực $x_1\ge x_2\ge \dots \ge x_n>0$, chứng minh
$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\dots +\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}\le \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\dots +\frac{x_n}{x_{n-1}}+\frac{x_1}{x_n}.$$

a. (2 điểm) Với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ thỏa mãn $a\ge b\ge c>0$, chứng minh
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}.$$

Lời giải: biến đổi tương đương ta được:
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\ge a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2\iff (a-b)(b-c)(a-c)\ge 0$, suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$ hoặc $b=c$.

b. (3 điểm) Với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 2$ và các các số thực $x_1\ge x_2\ge \dots \ge x_n>0$, chứng minh
$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\dots +\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}\le \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\dots +\frac{x_n}{x_{n-1}}+\frac{x_1}{x_n}.$$

Lời giải:
Đặt $\frac{x_1}{x_2}=t_1,\frac{x_2}{x_3}=t_2,\dots ,\frac{x_{n-1}}{x_n}=t_{n-1}$ thì $t_i\ge 1,\forall i=1,2,\dots ,n-1$ và $\frac{x_n}{x_1}=\frac{1}{t_1{t}_2\dots t_{n-1}}$, ta chứng minh:

$$t_1+t_2+\dots +t_{n-1}+\frac{1}{t_1{t}_2\dots t_{n-1}}\le \frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\dots +\frac{1}{t_{n-1}}+t_1{t}_2\dots t_{n-1}$$

$$\iff f(t_1;t_2;\dots ;t_{n-1})=\sum _{i=1}^{n-1}\left(t_i-\frac{1}{t_i}\right)+\frac{1}{t_1{t}_2\dots t_{n-1}}-t_1{t}_2\dots t_{n-1}\le 0.$$

Coi $t_2,t_3,\dots ,t_{n-1}$ là tham số, $f$ là hàm của $t_1$, ta có

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t_1)& =1+\frac{1}{t_1^2}-t_2{t}_3\dots t_{n-1}-\frac{1}{t_1^2{t}_2{t}_3\dots t_{n-1}}\\ & =1+\frac{1}{x^2}-M-\frac{1}{M{x}^2}(\text{với }x=t_1\ge 1,M=t_2{t}_3\dots t_{n-1}\ge 1)\\ & =(1-M)+\frac{1}{x^2}\left(1-\frac{1}{M}\right)\\ & =(1-M).\left(1-\frac{1}{x^{2}M}\right)\le 0\end{array}$$

suy ra $f(t_1;t_2;\dots ;t_{n-1})$ nghịch biến theo từng biến độc lập, nên $f(t_1;t_2;\dots ;t_{n-1})\le f(1;1;\dots ;1)=0$, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $x_1=x_2=\dots =x_n$.