Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, $AB<AC$, nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ cắt các đường thẳng $AC,AB$ lần lượt tại $M$ $(M\ne C)$ và $N$ $(N\ne B)$.

a. Chứng minh $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.

b. Kẻ các đường cao $BE,CF$ của tam giác $ABC$ ($E,F$ là chân các đường cao). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEM$ cắt $(O)$ tại điểm $P\ne B$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $CFN$ cắt $(O)$ tại điểm $Q\ne C$; các điểm $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $EM$ và $FN$. Kẻ đường thẳng $d$ qua $H$ và song song với $PE$, đường thẳng $d^{\prime }$ qua $K$ và song song với $QF$; gọi $S$ là giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$. Chứng minh đường thẳng $AS$ vuông góc với đường thẳng $AI$.