a) Chứng minh phương trình $4x^3-3x+\frac{1}{2}=0$ có ít nhất hai nghiệm trên $(-2;2)$.

b) Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=x-\ln x$. Tìm các điểm trên $(C)$ biết tiếp tuyến tại các điểm này cùng phương với trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5a: Đặt f(x)=4x^3-3x+1/2, hàm đa thức nên liên tục trên R. Ta có f(-1)=4(-1)^3-3(-1)+1/2=-4+3+1/2=-1/2<0; f(0)=1/2>0; f(1)=4-3+1/2=3/2>0. Vì f liên tục và f(-1)·f(0)<0 nên theo định lý giá trị trung gian, phương trình f(x)=0 có nghiệm x_1 thuộc (-1;0). Tương tự f(0)·f(1)<0 nên có nghiệm x_2 thuộc (0;1). Hai khoảng (-1;0) và (0;1) đều nằm trong (-2;2) và rời nhau, do đó phương trình 4x^3-3x+1/2=0 có ít nhất hai nghiệm trên (-2;2). (đpcm)

Câu 5b: Hàm số y=x-ln x xác định trên tập D=(0;+∞). Tiếp tuyến tại điểm x_0 cùng phương với trục hoành nghĩa là hệ số góc y'(x_0)=0. Ta có y'=1-1/x. Giải y'=0: 1-1/x=0 ⟺ x=1 (thỏa mãn x>0). Tại x_0=1: y_0=1-ln 1=1. Vậy điểm cần tìm trên (C) là điểm (1;1), tiếp tuyến tại đó là đường thẳng y=1, song song với trục hoành.