(5,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+1$, với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị $m$ để đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị $A$ và $B$ thỏa mãn $O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2-8$ ($O$ là gốc tọa độ).
2. Có một nửa khối cầu có bán kính $R_1=5$ dm và một khối nón có bán kính đáy $R_2=9$ dm, chiều cao $h=6$ dm. Người ta thiết kế một khối mới bằng cách cắt nửa khối cầu bởi mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa hình tròn lớn của nửa khối cầu và bỏ đi phần chỏm cầu; cắt khối nón bởi mặt phẳng song song với đáy và lấy phần khối nón cụt, sao cho bán kính hình tròn của hai mặt cắt bằng nhau và ghép hai phần đó với nhau tạo thành một khối có tổng chiều cao là 8 dm (tham khảo hình vẽ). Tìm thể tích lớn nhất của khối được tạo thành.

1.
Hàm số: $y=x^3-3m{x}^2+3(m^2-1)x-m^3+1$
Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-1)$
Để đồ thị có hai điểm cực trị $A,B$ thì phương trình $y^{\prime }=0$ hay $x^2-2mx+m^2-1=0$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-1)=1>0,\forall m\in \mathbb{R}$$
Theo định lý Vi-ét: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m^2-1\end{array}$
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: $y=-2x-m+1$
Tọa độ hai điểm cực trị là $A(x_1;-2x_1-m+1)$ và $B(x_2;-2x_2-m+1)$
Yêu cầu bài toán: $O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2-8$
Sử dụng công thức độ dài và tích vô hướng:
$O{A}^2+O{B}^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|}^2-8=O{A}^2+O{B}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}-8$
$\iff \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-4\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2=-4$
Trong đó:
$$y_1{y}_2=(-2x_1-m+1)(-2x_2-m+1)=4x_1{x}_2+2(m-1)(x_1+x_2)+(m-1{)}^2$$
$$y_1{y}_2=4(m^2-1)+4m(m-1)+(m-1{)}^2=9m^2-6m-3$$
Thay vào phương trình tích vô hướng:
$$(m^2-1)+(9m^2-6m-3)=-4\iff 10m^2-6m=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{3}{5}\end{array}$$
Vậy giá trị cần tìm là $m\in \left\{0;\frac{3}{5}\right\}$

2. Gọi $r$ là bán kính của hai mặt cắt $(0<r\le 5)$
Xét phần đối cầu: Mặt phẳng cắt nửa khối cầu (bán kính $R_1=5$) song song với đáy và cách tâm một khoảng $h_1$.
Ta có:
$$h_1=\sqrt{R_1^2-r^2}=\sqrt{25-r^2}$$
Vì phần giữ lại là phần đối cầu chứa tâm (bỏ chỏm cầu) nên chiều cao của phần này chính là $h_1$.
Xét phần nón cụt: Khối nón ban đầu có bán kính đáy $R_2=9$ và chiều cao $h=6$
Gọi $h_2$ là chiều cao của khối nón cụt.
Theo định lý Ta-lét, bán kính $r$ của mặt cắt phía trên thỏa mãn:
$$\frac{r}{R_2}=\frac{h-h_2}{h}\Rightarrow \frac{r}{9}=\frac{6-h_2}{6}\Rightarrow h_2=6-\frac{2}{3}r$$
Theo giả thiết, tổng chiều cao của khối mới bằng 8 dm, ta có phương trình:
$$h_1+h_2=8\iff \sqrt{25-r^2}+6-\frac{2}{3}r=8$$
$$\iff \sqrt{25-r^2}=2+\frac{2}{3}r(1)$$
Điều kiện: $2+\frac{2}{3}r\ge 0$ (luôn đúng với $r>0$). Bình phương hai vế của (1):
$$25-r^2=4+\frac{8}{3}r+\frac{4}{9}{r}^2\iff \frac{13}{9}{r}^2+\frac{8}{3}r-21=0$$
Giải phương trình bậc hai trên, ta thu được nghiệm dương duy nhất $r=3$
Với $r=3$, ta tính được $h_1=\sqrt{25-3^2}=4$ và $h_2=6-\frac{2}{3}(3)=4$
Thể tích khối được tạo thành là $V=V_{\text{đoˆˊi caˆˋu}}+V_{\text{noˊn cụt}}$
Trong đó:
$$V_{\text{đoˆˊi caˆˋu}}=\pi {\int }_0^{h_1}(R_1^2-x^2)dx=\pi \left(25h_1-\frac{h_1^3}{3}\right)=\pi \left(25\cdot 4-\frac{4^3}{3}\right)=\frac{236\pi }{3}$$
$$V_{\text{noˊn cụt}}=\frac{1}{3}\pi h_2(R_2^2+R_{2}r+r^2)=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot (9^2+9\cdot 3+3^2)=\frac{4\pi }{3}\cdot 117=156\pi$$
Tổng thể tích khối mới là:
$$V=\frac{236\pi }{3}+156\pi =\frac{704\pi }{3}({\text{dm}}^3)$$
Vì các giá trị $r$ và $h$ được xác định duy nhất từ điều kiện tổng chiều cao nên thể tích lớn nhất cần tìm là $V=\frac{704\pi }{3}({\text{dm}}^3)$