Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Gia Lai

(5,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+1$, với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị $m$ để đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị $A$ và $B$ thỏa mãn $O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2-8$ ($O$ là gốc tọa độ).
2. Có một nửa khối cầu có bán kính $R_1=5$ dm và một khối nón có bán kính đáy $R_2=9$ dm, chiều cao $h=6$ dm. Người ta thiết kế một khối mới bằng cách cắt nửa khối cầu bởi mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa hình tròn lớn của nửa khối cầu và bỏ đi phần chỏm cầu; cắt khối nón bởi mặt phẳng song song với đáy và lấy phần khối nón cụt, sao cho bán kính hình tròn của hai mặt cắt bằng nhau và ghép hai phần đó với nhau tạo thành một khối có tổng chiều cao là 8 dm (tham khảo hình vẽ). Tìm thể tích lớn nhất của khối được tạo thành.

(2,0 điểm) Giải phương trình $1-2\ln \frac{\sin x+9}{(\sin x-3{)}^2}=\cos 2x+14\sin x$.

(5,0 điểm)
1. Có một vòng quay gồm 40 cabin cách đều nhau, các cabin được coi như là các đỉnh của một đa giác đều. Ba bạn An, Bình và Chi lên ngẫu nhiên 3 cabin khác nhau. Tính xác suất để ba bạn lên 3 cabin tạo thành tam giác không cân, không vuông và không có cạnh của đa giác đều.
2. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển biểu thức $P(x)={\left(3+x-x^3\right)}^n$ với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $2C_n^2-3A_n^2+144=0$.

(6,0 điểm)
1. Trong công viên có một hồ nước, đáy của hồ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và các mép trong của thành hồ giao với $(\alpha )$ tạo thành một tam giác $ABC$. Trong mặt phẳng $(\alpha )$, chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ và tìm được $A(10;83)$, $B(26;20)$ và $C(82;62)$. Người ta muốn cải tạo hồ nước bằng cách xây một đài phun nước có đáy là hình tròn nằm trong $(\alpha )$ sao cho hình tròn này tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$. Hãy xác định tọa độ tâm hình tròn của đáy đài phun nước.
2. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+11=0$, mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=36$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z}{5}$. Cho điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ và điểm $N$ thay đổi trên mặt phẳng $(P)$ sao cho đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $\Delta$ và đoạn $MN$ nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$.
3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $SA$ vuông góc với đáy, $AB=BC=a$, $AD=2a$, góc tạo bởi mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^{\circ }$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

(2,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{\frac{6077}{2}{u}_n+2^{-n}}{2^n{u}_n+6076},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.