(2,0 điểm) Giải phương trình $1-2\ln \frac{\sin x+9}{(\sin x-3{)}^2}=\cos 2x+14\sin x$.

Điều kiện: $\sin x\ne 3$ (luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$)
Phương trình tương đương:
$$1-2\left[\ln (\sin x+9)-\ln (\sin x-3{)}^2\right]=1-2{\sin }^{2}x+14\sin x$$
$$\iff -2\ln (\sin x+9)+4\ln (3-\sin x)=-2{\sin }^{2}x+14\sin x$$
$$\iff 4\ln (3-\sin x)+2{\sin }^{2}x-14\sin x-2\ln (\sin x+9)=0$$
Đặt $t=\sin x$ với $t\in [-1;1]$, xét hàm số $f(t)=4\ln (3-t)+2t^2-14t-2\ln (t+9)$
Ta có: $f^{\prime }(t)=\frac{-4}{3-t}+4t-14-\frac{2}{t+9}=\frac{4}{t-3}+(4t-14)-\frac{2}{t+9}$
Với $t\in [-1;1]$ thì:
$t-3<0\Rightarrow \frac{4}{t-3}<0$
$4t-14\le 4(1)-14=-10<0$
$t+9>0\Rightarrow -\frac{2}{t+9}<0$
Suy ra $f^{\prime }(t)<0,\forall t\in [-1;1]$ nên hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[-1;1]$
Mặt khác $f(0)=4\ln 3-2\ln 9=4\ln 3-4\ln 3=0$
Vậy phương trình $f(t)=0$ có nghiệm duy nhất $t=0$
$\sin x=0\iff x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$