Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đường kính $CD$ của $(O)$ cắt $AB$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A$, $B$ của $(O)$ cắt nhau ở $T$, $CT$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $S$. Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(CME)$.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $CD$, $TI$, $SM$ đồng quy.

b) Đường tròn $(CME)$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $MK$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh rằng ba đường tròn $(EFM)$, $(DFS)$, $(ABF)$ cùng đi qua một điểm khác $F$.

Bé An có một bộ cờ gồm 32 quân cờ. An chơi trò chơi đặt lần lượt các quân cờ lên một bàn cờ kích thước $n\times n$. Trên bàn cờ, một ô gọi là hợp lệ nếu ô đó chưa có quân cờ nào đồng thời tổng số quân cờ đang có trên $2n-2$ ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó là một số chẵn. Mỗi bước An đặt một quân cờ vào một ô hợp lệ.

a) Xét $n=8$ và bàn cờ được tô trắng đen như bàn cờ vua tiêu chuẩn. Chứng minh rằng An có thể đặt hết 32 quân cờ vào 32 ô trắng của bàn cờ.

b) Với $n=8$, chứng minh rằng nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì An luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ.

c) Với $n=7$, hỏi nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì có còn đảm bảo luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ hay không? Vì sao?