Có 30 học sinh tham dự một khóa học gồm 100 tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn 56 tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên $N$ lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất $N$ học sinh không được dự thi cuối khóa.

Trong mỗi tiết có nhiều hơn 15 học sinh vắng mặt, nên có nhiều nhất 14 học sinh đi học. Do đó tổng số lượt đi học của cả 30 học sinh trong 100 tiết không vượt quá
$$100\cdot 14=1400.$$
Gọi $t$ là số học sinh được dự thi cuối khóa. Mỗi học sinh trong số đó đi học ít nhất 56 tiết, nên
$$56t⩽1400.$$
Suy ra $t⩽25$. Vì có 30 học sinh nên có ít nhất $30-25=5$ học sinh không được dự thi. Do đó $N\ge 5$.
Ta dựng một cách điểm danh có đúng 5 học sinh không được dự thi.
Đánh số 25 học sinh đầu tiên bởi các số $0,1,2,\dots ,24$. Chia 100 tiết thành 4 vòng, mỗi vòng gồm 25 tiết. Trong tiết thứ $j$ của mỗi vòng, cho đúng 14 học sinh
$$j,j+1,\dots ,j+13(\mathrm{mod}25)$$
di học, 5 học sinh còn lại luôn vắng mặt. Trong mỗi vòng, mỗi học sinh thuộc nhóm đầu đi học đúng 14 tiết, nên sau 4 vòng mỗi em đi học đúng 56 tiết và được dự thi. Chỉ có 5 học sinh cuối không được dự thi. Vậy $N=5$.