Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT - Trường ĐH Vinh - Môn Toán

Tìm tất cả các số thực $a,b$ để tồn tại hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ khác hằng và thỏa mãn
$$f\left(a{x}^3+y^2\right)=f\left(b{y}^3+x^2\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho số nguyên dương $n$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ khác hằng, chỉ có nghiệm thực và thỏa mãn đẳng thức sau với mọi $x\in \mathbb{R}$:
$$16^{n}P\left(\frac{x^3+3x}{4}\right)={\left(x^4+7x^2+16\right)}^{n}P(x).$$

Có 30 học sinh tham dự một khóa học gồm 100 tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn 56 tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên $N$ lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất $N$ học sinh không được dự thi cuối khóa.

a) Giả sử $a$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng:
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)\iff a^{(p-1{)}^2}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2).$$
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$i)$ $5^{(p-1{)}^2}-1$ không chia hết cho $p^2$; $ii)$ $p^x+5=y^p$.

Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$\sqrt{a^3+ka}+\sqrt{b^3+kb}+\sqrt{c^3+kc}\ge \sqrt{3(k+1)(a+b+c)}$$
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a,b,c)$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=3$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đường kính $CD$ của $(O)$ cắt $AB$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A$, $B$ của $(O)$ cắt nhau ở $T$, $CT$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $S$. Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(CME)$.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $CD$, $TI$, $SM$ đồng quy.

b) Đường tròn $(CME)$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $MK$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh rằng ba đường tròn $(EFM)$, $(DFS)$, $(ABF)$ cùng đi qua một điểm khác $F$.

Bé An có một bộ cờ gồm 32 quân cờ. An chơi trò chơi đặt lần lượt các quân cờ lên một bàn cờ kích thước $n\times n$. Trên bàn cờ, một ô gọi là hợp lệ nếu ô đó chưa có quân cờ nào đồng thời tổng số quân cờ đang có trên $2n-2$ ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó là một số chẵn. Mỗi bước An đặt một quân cờ vào một ô hợp lệ.

a) Xét $n=8$ và bàn cờ được tô trắng đen như bàn cờ vua tiêu chuẩn. Chứng minh rằng An có thể đặt hết 32 quân cờ vào 32 ô trắng của bàn cờ.

b) Với $n=8$, chứng minh rằng nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì An luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ.

c) Với $n=7$, hỏi nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì có còn đảm bảo luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ hay không? Vì sao?