Cho đa thức monic

$$P(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$

với $n>2$, hệ số thực, tất cả nghiệm của $P(x)$ đều là số thực và khác 0.

a) Chứng minh rằng $2026a_k^2+2027a_{k+1}^2>0$ với mọi $k=0,1,\dots ,n-2$.

b) Hỏi số lượng hệ số khác 0 của đa thức $P(x)$ nhỏ nhất là bao nhiêu?

Cho hai số nguyên $n,k$ thỏa mãn $2⩽k<n$. Trong một lễ hội, có $n$ ngọn đèn được đặt trên một vòng tròn và đánh số $1,2,\dots ,n$ theo chiều kim đồng hồ. Mỗi ngọn đèn ở một trong hai trạng thái: sáng hoặc tắt.

Trong mỗi lượt ghi, trạng thái của các ngọn đèn được giữ cố định. Một người đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Khi đứng tại ngọn đèn thứ $i$, người đó ghi lại số ngọn đèn đang sáng trong $k$ ngọn đèn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ ngọn đèn thứ $i$; sau ngọn đèn thứ $n$ lại đến ngọn đèn thứ 1. Gọi số ghi được tại ngọn đèn thứ $i$ là $s_i$. Sau một vòng, người đó thu được bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$.

a) Xác định điều kiện của $n,k$ để với mọi cách bố trí trạng thái của các ngọn đèn, bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ xác định duy nhất cách bố trí đó.

b) Trong suốt lễ hội, trạng thái của các ngọn đèn có thể được thay đổi tùy ý giữa các lượt ghi. Xác định số bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ phân biệt có thể thu được.