1) Tìm tập hợp $A\subset \mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $A\ne \varnothing$
ii) A có không quá 5 phần tử
iii) Nếu $x\in A$ thì $\frac{1}{x}\in A$ và $(1-x)\in A$
2) Cho 101 số nguyên dương có tổng bằng 300 được viết trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một dãy các số viết liền nhau có tổng bằng 100.

Cho các số thực $\{a,b,c\}\subset \left(\frac{1}{\sqrt{6}};+\infty \right)$ và thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1+a^2}{\sqrt{2a^2+3ab-c^2}}+\frac{1+b^2}{\sqrt{2b^2+3bc-a^2}}+\frac{1+c^2}{\sqrt{2c^2+3ca-b^2}}\ge 2(a+b+c)$

1) Cho các số $m,a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho: $m^2<a<b$. Chứng minh rằng nếu $ab$ là số chính phương thì: $b>(m+1{)}^2$
2) Cho $p$ là số nguyên tố khác 2; $a$ và $b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $(a+b)⋮p$ và $(a-b)⋮(p-1)$. Chứng minh rằng $\left(a^b+b^a\right)⋮(2p)$.

Cho tam giác ABC có $BC=a,AC=b,AB=c$. Gọi G là trọng tâm tam giác đó; Gọi $G_1,G_2,G_3$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của G lên BC, CA, AB; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức:
$$\frac{S_{G_1{G}_2{G}_3}}{S_{ABC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{36R^2}$$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Lấy $F$ là một điểm bất kì thuộc cung $AB$ (không chứa C) sao cho F không trùng với các điểm $A,B$. Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung $BC$ (không chứa A) và $N$ là điểm chính giữa của cung $AC$ (không chứa B). Đường thẳng qua C song song với đường thẳng $MN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $P$ (khác C). Gọi $I,I_1,I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$, $FAC$, $FBC$. Đường thẳng $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ (khác $P$).
a) Chứng minh $NPMI$ là hình bình hành.
b) Chứng minh 4 điểm $I_1,I_2;G,F$ cùng nằm trên một đường tròn.